Esta proporción ha fascinado desde hace siglos al ser humano, que lo ha considerado un indicador de la perfección y la estética.
En el Renacimiento, muchísimos artistas y arquitectos compusieron sus trabajos con la intención de aproximarse a la proporción Áurea, convencidos de que esta relación atribuía a las obras un carácter estético especial.

El ejemplo más cercano y curioso en el que encontraremos la proporción áurea es en las tarjetas de crédito. Si dividimos el ancho entre el alto de una tarjeta de crédito obtendremos el número áureo: 1,618 .
Esta fascinación y mitificación de la proporción áurea continúa viva en nuestros días, y es precisamente en el diseño de logotipos donde encontramos grandes ejemplos de ello.
Creyendo que la proporción áurea ayudará a crear diseños estéticamente más agradables, muchos creativos han optado por aplicar esta relación a la construcción de sus logotipos.

Por ejemplo, observamos esta relación áurea en el logotipo de Apple, uno de los iconos más reconocible de nuestro siglo. Su diseño, limpio y proporcionado, está además construido en función a una serie de circunferencias, cuya relación encaja perfectamente en la proporción áurea.

El segundo ejemplo que nos encontramos es el del logotipo de National Geographic, diseñado por el estudio neoyorkino Chermayeff & Geismar (http://www.cgstudionyc.com/identities/national-geographic). Aunque en apariencia parezca un simple rectángulo amarillo, en realidad este rectángulo respeta a la perfección las proporciones áureas. Un detalle muy apropiado para una marca centrada en la belleza de la naturaleza.

En el logotipo de Toyota podemos observar fácilmente esta divina proporción. Enmarcando el logotipo en una cuadrícula, se aprecia que las relaciones entre las distintas distancias resultantes es siempre 1,618, el número áureo.

Curiosamente en el nuevo logotipo de Pepsi, diseñado por the Arnell Group (http://www.arnellgroup.com/) en 2008, también presenta la divina proporción entre las dos circunferencias que lo conforman.

El logotipo de iCloud, uno de las últimas identidades presentadas por Apple, también respeta las proporciones áureas. La relación entre los círculos, así como la relación entre el ancho y el alto del logo, es de 1,618, el número áureo.

El rediseño de BP, llevado a cabo por Landor Associates (http://landor.com/#!/work/case-studies/bp/) en 2001, presentó una estructura de círculos concentricos cuya relación era el número áureo. Es un guiño muy apropiado para el caso ya que uno de los principales objetivos de Landor con este proyecto fue el de potenciar los valores de naturaleza y cuidado medio ambiental.

El logotipo de Grupo Boticario fue creado por la oficina brasileña de Futurebrand (http://www.futurebrand.com/work). Es quizás uno de los casos más obvios en los que encontramos las proporciones áureas.

Pero quizás uno de los logos más recientes en presentar las supuestas proporciones áureas en su diseño ha sido el nuevo icono de Twitter. Pero lo más curioso de todo esto es cómo la propia web de Twitter presenta una estructura compuesta en función a la divina proporción.

Número de oro

 

Se divide un segmento cualquiera en dos partes de forma que la razón entre la totalidad del segmento y una parte (la mayor) sea igual a la razón entre esta parte y la otra (la menor). 

 

Esta razón, que cumple la propiedad, es denominada razón áurea. Se puede obtener este número a partir de la expresión anterior: 

 

Se puede despejar a utilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo en cuenta que a > 0 y b > 0, o en otras palabras, tomando su valor positivo: 

 

Dividiendo todo por b se obtiene: 

 . El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros (es decir, es irracional y posee infinitos decimales) cuyo su valor aproximado es 1,6180339887498...

Sucesión de Fibonacci

En matemática, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el  tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono.

Historia

Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Pingala (200 a.c.), Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era f_{n + 1}, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: conocer el número de conejos (parejas de conejos) que habrá en 12 meses, si estos se reproducen continuamente y cada pareja de conejos produce una nueva pareja de conejos (un macho y una hembra). Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes, siendo su periodo de gestación un mes. Siendo así, se tiene que:

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos f_{n + 1} / f_n se acerca a la relación áurea fi  cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta serie ha tenido popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen y Delia Derbyshire la han utilizado para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Definición formal

Los números de Fibonacci 

quedan definidos por las ecuaciones

Esto produce los números

y así sucesivamente de manera infinita.

Propiedades de la sucesión

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

• La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir: 

1. Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite. 

• Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17 = 13 + 3 + 1, 65 = 55 + 8 + 2. 

• Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m. 

La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si                       

y 

entonces

y  

y

• Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir 

La sucesión de Fibonacci en la cultura popular

• En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière.
• En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
• En la miniserie Taken, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la híbrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
• En el filme de Darren Aronofsky π el orden del caos el judío Rabbi Cohen presenta la teoría en hebreo transcrito en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando en conclusión que todo esta basado en la ley del orden y el caos.
• En un lateral de la cúpula de la antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema, más conocida como Mole Antonelliana, en Torino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la sucesión de números de Fibonacci.
• El Dr. Walter Bishop de la serie de televisión Fringe usa números de la serie de Fibonacci para las contraseñas de sus cajas de seguridad. Capítulo 10 de la primera temporada.
• En el videojuego de Assasins Creed 2, en uno de los acertijos de los glifos para resolverlo se debe usar la sucesión de Fibonaccci para poder resolverlo.
• En el juego móvil Doom RPG hay una habitación secreta que requiere de los primeros 7 dígitos de la sucesión de Fibonacci (11235813) para poder desbloquearla.

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.

El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Relación Con el número de oro

Si vamos dividiendo cada valor de la Serie de Fibonacci por el anterior, el resultado tiende a Phi. Cuanto más altos son los valores, mayor es la aproximación (considerad que Phi, como todo número irracional, tiene infinitos decimales).

Y hacemos un cuadriculado con estos números, con cada cuadrito con el valor de 1 obtendríamos algo así

continuación podemos trazar un cuarto de arco de circunferencia (90º) dentro de cada cuadradito y fácilmente vemos cómo surge la Espiral de Fibonacci
Obtenemos la espiral Fibonacci, una espiral logaritmica con un ratio de 1.618...
Y podemos ver estas espirales en la naturaleza como en creaciones humanas
  El rectángulo aureo Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
Se trata un rectángulo muy especial y conocido desde antiguo. En él se cumple esta proporción, también conocida como Razón Áurea o Divina Proporción: el lado mayor (a) es al lado menor (b) lo que la suma de ambos (a+b) es al mayor (a).

El triángulo de oro 
Es un triángulo isósceles especial. El ángulo superior es de 36 ° mientras que la parte inferior dos ángulos de 72 ° cada uno. A continuación, atraviesan uno de estos ángulos de la base. El triángulo azul resultante:
también es un triángulo de oro! Por lo tanto, podemos mantener la bisectriz del ángulo de base para obtener un conjunto de triángulos girando:
De esto, podemos dibujar una espiral logarítmica similar a la espiral de Fibonacci:
Y este triangulo tambien se puede encontrar en varias partes
 

Ángulo de oro

Un concepto, quizás no tan conocido, pero igualmente importante: el Ángulo Áureo. Es decir, la relación angular de proporción entre dos segmentos circulares:

Con estos dos segmentos circulares se sigue cumpliendo la misma proporcionalidad áurea, pero en este caso el valor del ángulo formado por el menor de ellos es otro número irracional, que podemos simplificar y redondear como 137,5º Y resulta que ese valor está muy presente en la naturaleza.Fijense en al siguientes figuras: — Aportamos un primer punto de color rojo. — Giramos 137,5º — Añadimos un segundo punto de color verde y hacemos que la anterior se vaya hacia el centro. — Giramos otros 137,5º — Añadimos un tercer punto de color tostado y hacemos que la anterior se vaya hacia el centro, hasta tocar con la primera. — Giramos otros 137,5º… … y así sucesivamente, punto tras punto, iríamos obteniendo paulatinamente unas distribuciones como las que tienen en las siguientes figuras. Esta figura representa la forma más compacta en la que pueden agrupar un conjunto sobre un plano. Además esta figura tiene un parecido grande a la forma que estan agrupadas las semillas de un girasol. Siempre se ha dicho: la naturaleza es sabia. Si observáis atentamente la configuración de las semillas verán cómo aparecen una serie de patrones en espiral. En la ilustración tienen resaltadas tres de las tipologías de espirales que podemos encontrar. Si nos centramos en una de las espirales obtendremos un número que se encuentra en la Sucesión Fibonacci.

El pentágono y el decágono, su relación con la sección aurea.

FI en la Naturaleza

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.

En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.


En la oreja


En la boca

Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico (figura 1) de un zángano, podemos ver como el número de abejas en cada generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

La serie de FIbonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por ejemplo, ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.

La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia. En la mayoría de los casos es tal que permite a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice.

Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas (supongamos que son 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el numero de vueltas 'm' que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión. Pues bien, se llama "característica" o "divergencia" del tallo a la fracción m/n, y que, como muestra en la figura 2, en el olmo es 1/2, en el álamo 2/5, en el sauce llorón 3/8 y en el almendro 8/13. Si representamos por F_n el término que ocupa el lugar 'n' en la sucesión de Fibonacci (consideremos, por ejemplo: F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8, F₇=13), en la mayoría de los casos la característica viene dada por una fracción del tipo F_n/F_n+2. Así, en el caso del sauce llorón sería F₄/F₆.

Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien 8/13, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.

El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso.

El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C..

Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=.

El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico.

La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construcción en un pentágono áureo, en el que el cociente de la diagonal y el lado de dicho pentágono es el número áureo.

Los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de Belvedere están relacionados según la sección áurea, es decir, con una proporción de 1:1,618.

El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.